TEORÍA DE CONJUNTOS
1.Introducción
1.1. Pinceladas históricas
En el último cuarto del siglo XIX
se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las
ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole
(1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica
como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó
mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik.
Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la
historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una
fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la
totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y
1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números
naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva
disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos. Su obra fue
admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los
debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin
duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.
Según la definición de conjunto
de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos
objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del
conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio
una definición de conjunto similar.
En 1903 B. Russell demostraría
que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la
definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática
de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem
(1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de
conjuntos actual.
Es indiscutible el hecho de que
la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría
matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas.
Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte
de la lógica de predicados.
En esta historia cruzada de las
matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos
permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por
otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas
proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas.
Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y
sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden
aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer
orden.
En los capítulos que siguen se
presenta primero la teoría intuitiva de conjuntos, basada en la original de
Cantor, para seguir con sus problemas de inconsistencia y la solución
axiomática final como la teoría de conjuntos de Zermelo Fraenkel.
1.2. Teoría intuitiva de conjuntos
1.2.1. La selva de Cantor
La definición inicial de Cantor
es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos
determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento
(que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su
idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la
colección de objetos que satisface el predicado). Esta idea sencilla y tan
intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de
inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para poder mostrarlo es
necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los
símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos
de pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal).
Que x es un elemento del conjunto
C se expresa “x pertenece a C” o bien x ∈ C. Que x no es un elemento de C
se expresa “x no pertenece a C” (x /∈ C).
Tendremos en cuenta que no es necesario
denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus
elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e
incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean
conjuntos.
¿Cómo se determina una colección?
- Listar
los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto
queda definido si es posible describir completamente sus elementos. El
procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos,
se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre
llaves los elementos del conjunto.
Ejemplo: A = {a, b, c}.
Donde A es el conjunto formado
por la colección de objetos a, b y c.
Donde B es el conjunto formado
exactamente por esos cinco círculos.
Entonces es cierto que b ∈
A y que b /∈ B.
El inconveniente para este método
de listado o enumeración de los elementos del conjunto es que éstos deben
poseer un número finito de elementos y, en la práctica, un número muy pequeño
¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa?
Describir los objetos.
Cuando el número de elementos del conjunto es
infinito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas
las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método
de definición por intensión, que consiste en la descripción de un conjunto como
la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado)
que caracterizan a los elementos de ese conjunto.
En principio podría tomarse
cualquier lengua natural para describir los objetos (español, inglés, italiano,
vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal que
ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto
es, lo suficientemente expresivo como para poder describir todas las
colecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como para
limitarse a sólo las colecciones de objetos matemáticos.
Para expresar predicados utilizaremos el
lenguaje formal de la la lógica de predicados de primer orden (el lenguaje de
la lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de las conectivas ¬,∨,∧,→,↔ más
los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃)
al que se añade variables, igualdad y el
relator binario de pertenencia. Este lenguaje puede ser ampliado con los
símbolos propios de las operaciones, relaciones o funciones del lenguaje
específico de teoría de conjuntos.
En la primera parte, al presentar
la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia el lenguaje natural
para describir propiedades. Estas propiedades pueden ser aritméticas o
matemáticas en general, pero también pueden ser propiedades expresadas en
lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan colecciones no
estrictamente matemáticas.
Ejemplo:
C = {x ∈ ω/ 0 <x< 230000 ∧ 2/x}, donde ω es el conjunto de los números naturales con la ordenación
habitual, < significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a x”.
D = {x/ x es una palabra de 2
letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)}
E = {x/ P2(x) ∨
P3(x) ∨
··· ∨ P10(x)} . Donde Pi(x) significa “x es una palabra de i letras del
alfabeto griego (pueden estar repetidas).
1.2.2. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de
Russell
Pero la definición intuitiva de
conjunto como el de una colección de objetos ‘describible’ por un predicado
conduce inevitablemente a ciertas contradicciones que se llaman paradojas, la
más célebre es la conocida como paradoja de Russell: Consideremos el conjunto A
= {x : x /∈ x}, descrito mediante el predicado del lenguaje formal
x /∈
x.
Obviamente, para cualquier B, B ∈ A si y sólo
si B /∈
B. Es decir, está en A cuando verifica las
condiciones que definen a A. Pero, ¿qué sucede con el propio A? Evidentemente,
A ∈
A si y sólo si A /∈ A. Pero este resultado es
contradictorio. En vano se debe intentar descubrir un error en el razonamiento,
más bien parece que el problema proviene de admitir expresiones como A ∈
A (o conjuntos como el conjunto de todos los conjuntos que produce también
paradojas).
Se ha visto claramente que el
concepto de conjunto no es tan sencillo y que identificarlo sin mayor
investigación con el de colección resulta problemático. Para evitar la paradoja
de Russell, y otras de esta naturaleza, es necesario tener más cuidado en la
definición de conjunto, lo veremos en lo que sigue. Otras paradojas, de hecho
las primeras en descubrirse, afectaban a colecciones grandes, como por ejemplo
la de los ordinales, o la de todos los conjuntos. Estas colecciones no podrán
ser conjuntos.
1.2.3. Solución de las paradojas
Una solución radical al problema
de las paradojas es la propuesta en 1903 por Russell, su Teoría de Tipos.
Observa que en todas las paradojas conocidas hay una componente de
reflexividad, de circularidad. Técnicamente se evitan las paradojas al eliminar
del lenguaje las formaciones circulares. Se reconoce que nuestro universo
matemático no es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más
adecuado para hablar de un universo debe tener diversos tipos de variables
que correspondan a cada nivel; en particular, la relación de pertenencia se dá
entre objetos de distinto nivel. En 1908 Zermelo da como solución la definición
axiomática de la Teoría de Conjuntos, refinada más tarde por Fraenkel, Skolem,
von Neumann y otros. En esta teoría se evita que las colecciones que llevaban a
las paradojas puedan ser conjuntos. De hecho, en la solución de
Zermelo-Fraenkel, una colección de objetos será un conjunto si los axiomas la
respaldan. Dichos axiomas permiten formar conjuntos a partir de conjuntos
previamente construídos y postulan la existencia del ∅ y de al
menos un conjunto infinito.
Sin embargo, en la solución de von Neumann se admiten colecciones que no son conjuntos,
las denominadas clases últimas. Se definen clases mediante propiedades, sin
restricción, pero habrá que mostrar que se trata de conjuntos viendo que
pertenecen a alguna clase. Las clases últimas, como la clase universal o la de
los ordinales, no pertenecen a ninguna otra clase.
1.3. El Universo matemático
La idea intuitivamente más
fructífera y también la más extendida es que nuestro universo matemático, -esto
es, el que contiene todas las colecciones de objetos matemáticos, pero
solamente los objetos matemáticos- constituye una jerarquía de conjuntos, la
denominada Jerarquía de Zermelo.
En la construcción de los
conjuntos que formarán la jerarquía se parte de una colección inicial M0 de
objetos dados y a continuación se construye una colección M1 de conjuntos de
elementos de M0, después una colección M2 de conjuntos de objetos de M0 y M1,
etc., el universo de conjuntos construídos es una jerarquía. Para proporcionar
mayor precisión debemos responder a las preguntas siguientes:
1. ¿Cúal será nuestra colección
de partida, M0?
2. ¿Qué conjuntos de objetos de
niveles inferiores se toman para formar nuevos niveles en la jerarquía?
3. ¿Hasta dónde se extiende esta
jerarquía?.
Para responder a la primera
pregunta debemos considerar si nos interesa tomar objetos que no sean conjuntos
o si nos basta con partir de un primer nivel que sea sencillamente el conjunto ∅.
Está claro que se toman sólo objetos matemáticos, pero habrá que ver que es suficiente y
que podremos finalmente contar en la jerarquía con todos los objetos matemáticos.
Una respuesta a la segunda
pregunta que parece razonable es, al ir tomando nuevos conjuntos, que éstos se
puedan describir con nuestro lenguaje. Al tomar esta opción formamos la
Jerarquía de conjuntos constructibles. Otra posibilidad es tomar como objetos
de un nuevo nivel a todos los posibles. Veremos que esta es la opción de
Zermelo.
Finalmente, la tercera de las
preguntas es hasta donde se extiende la jerarquía. La respuesta es que la
jerarquía de conjuntos no tiene fin, siempre se pueden construir nuevos
niveles. Para precisar un poco más esta imagen intuitiva de nuestro Universo
matemático es conveniente contar con algunas nociones de teoría de conjuntos
básica y con el concepto de ordinal. Por ello volveremos sobre este tema cuando
tengamos el equipamiento necesario.
1.4. Teoría axiomática de
conjuntos
Recordemos los componentes de una
teoría axiomática:
1. El lenguaje o símbolos
formales de la teoría.
2. Los axiomas, que son
proposiciones acerca de los objetos de la teoría y que imponen el funcionamiento
de dichos objetos.
3. Los teoremas, que son todas
las proposiciones demostrables con herramientas lógicas a partir de los
axiomas.
En la teoría de conjuntos
axiomática de Zermelo Fraenkel se usará el lenguaje formal de la lógica de
predicados de primer orden. Las variables de dicho lenguaje formal se referirán
a conjuntos; es decir, en la interpretación usual todos los objetos son
conjuntos. Es decir, existir será sinónimo de ser un conjunto. El lenguaje
básico sólo tiene el relator binario de pertenencia, pero se extiende, mediante
definiciones pertinentes, para dar cabida a operaciones.
Los conceptos primitivos de esta
teoría son el de conjunto y el de pertenencia. En realidad la mayoría de los
axiomas sirven para garantizar la existencia de los conjuntos que nos interesa
tener. Por ello la idea de construcción es esencial en la teoría axiomática de
Zermelo-Fraenkel (que notaremos ZF). En la teoría axiomática de conjuntos se
respeta la idea fundamental de aceptar que una colección de objetos pueda ser
un conjunto, pero se impone la condición de que todos los objetos de una
colección deben haberse formado antes de definir dicha colección, y de esta
manera se evitarán los problemas que conducen a las paradojas. Uno de los
axiomas de la teoría (se verá más adelante) impondrá esta restricción: ”Si X es
un conjunto ya construido existe un conjunto Y formado por los elementos de X
que satisfacen un predicado P que los describe (o lo que es lo mismo, una
fórmula con al menos una variable libre)”. Así un predicado describirá un
conjunto sólo si los objetos han sido ya construidos (son de otro conjunto X) y
además satisfacen el predicado.
Con esta restricción a la
definición de conjunto de Cantor desaparece la paradoja de Rusell ya que para
que A = {x : x /∈ x} sea un conjunto se debería
tener un conjunto X a partir del cual construirse; es decir, A = {x ∈
X : x /∈
x}. ¿Cómo se resuelve la paradoja? Al construirse a partir de un conjunto ya
construido desaparece el problema.
Ahora, para cualquier B se verifica: B ∈
A si y sólo si B ∈ X y B /∈ B. En realidad, puesto que la
condición B /∈ B la cumplen todos, A será el
propio X. Además, es imposible que exista el conjunto de todos los conjuntos.
Los teoremas de ZF se derivan de
los axiomas, pero para que tengan interés deben mediar definiciones de
conceptos y operaciones nuevas. Aunque en principio podría usarse un cálculo
deductivo de primer orden, en la práctica resulta desaconsejable pues en él
cualquier demostración se alargaría en exceso.
2. Algebra de Conjuntos
2.1. Elementos y conjuntos
Se partirá, en esta introducción,
de la existencia intuitiva de unos entes matemáticos que se denominarán
conjuntos.
Definición 1: Un conjunto es una
colección de objetos bien definidos y diferenciables entre sí que se llaman
elementos. Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas mayúsculas:
A, B, . . . y los elementos por letras latinas minúsculas: a, b, . . .; si a es
un elemento del conjunto A, se dirá que a pertenece al conjunto A, y se
escribirá a ∈ A. En caso contrario, se dirá que el elemento no
pertenece al conjunto y se denotará a /∈ A.
Al conjunto que carece de
elementos se le denomina conjunto vacío, y se denota por ∅.
Definición 2: Se dice que un
conjunto A está bien definido cuando, dado un elemento cualquiera x, es cierta
una, y sólo una, de las proposiciones siguientes:
1. x ∈ A
2. x /∈ A
Ejemplo: La proposición “Todos
los alumnos que aprobarán Matemáticas en junio” no define adecuadamente un
conjunto puesto que, dado un alumno, no se puede afirmar de antemano si aprobará
o no en junio.
Un conjunto puede ser definido
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos, o por comprensión,
diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Ejemplo: Se muestran a continuación
algunos ejemplos de conjuntos definidos por comprensión: El conjunto de todos
los números naturales pares, el conjunto de todos los europeos, el conjunto de
los vehículos automóviles.
Ejemplo: Algunos conjuntos
definidos por extensión:
una lista de la compra: B = {pan,
leche, aceite}
algunos números naturales: A =
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
electrodomésticos de línea
blanca: C = {lavadora, secadora, horno, lavavajillas, cocina,...}.
Como se aprecia en este ejemplo,
es habitual utilizar las llaves “{”y“}” para delimitar los elementos que
componen un conjunto.
2.1.1. Inclusión
Definición 3: Dados dos conjuntos
A y B, se dice que A es un subconjunto de B, y se expresa A ⊆
B, cuando todos los elementos de A son también elementos de B, es decir:
Si{∀
x,x ∈
A ⇒
x ∈
B}.
Se dirá, entonces, que A está
incluido o contenido en B. Cuando A no está contenido en B, se escribirá A ⊆
B (lo cual quiere decir que existe a ∈ A tal que a ∈
B). En la figura 1.1 se muestra,
mediante Diagramas de Venn, un conjunto A subconjunto de otro B.
Definición 4: El conjunto formado
por todos los subconjuntos de uno dado A se denomina partes de A, y se denota ℘
(A).
Ejemplo: Se exponen a continuación
dos conjuntos sencillos, y sus partes:
Si A = {a, b} ⇒
℘
(A) = { ∅, {a} , {b} , A} .
Si A = {a, b, c} ⇒
℘
(A) = {∅,
{a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c}, A}
Definición 5: Un conjunto A es
finito si tiene un número finito de elementos que se llama cardinal y se denota
|A| o #A. En caso contrario, se dice que A es no finito.
Es fácil comprobar que si A es un
conjunto finito, también lo es ℘ (A) y, además, |℘
(A)| = 2|A|
Definición 6: Dos conjuntos A y B
son iguales si, simultáneamente, se verifica A ⊆ B y B ⊆ A, es decir:
A = B ⇔
A ⊆
B ∧
B ⊆
A
Propiedades 1. Dados tres
conjuntos A, B y C, la inclusión verifica las siguientes propiedades:
1. A ⊆ A (Propiedad
Reflexiva).
2. A ⊆ B ∧
B ⊆
A ⇒
A = B (Propiedad Antisimétrica).
3. A ⊆ B ∧
B ⊆
C ⇒
A ⊆
C (Propiedad Transitiva).
Demostración.
por tanto, será:
∀x
∈
A ⇒
x ∈
B ⇒
x ∈
C
por lo que, finalmente, será
A ⊆
C.
4. ∅ ⊆ A.
2.2. Operaciones entre conjuntos
2.2.1. Complementación
Definicion 7: Dado un conjunto U,
se llama complementario del conjunto A ⊆ U, y se denota 
, al conjunto de todos los elementos
de U que no pertenecen a A, es decir:
, al conjunto de todos los elementos
de U que no pertenecen a A, es decir: 
Obsérvese que la propiedad que
determina al complementario de A es la negación de la propiedad que determina
los elementos de A.
En la figura 1.2 se muestra, en
la zona rayada, el conjunto complementario de A respecto a U.
Propiedades 2. Dado un conjunto U
y dos subconjuntos suyos A y B, se verifican las siguientes propiedades:
Definición 8. Dados dos conjuntos
A y B se llama unión de A y B, y se representa A ∪ B, al conjunto formado por
elementos de A y de B:
De esta definición se deduce que
un elemento pertenece a la unión si pertenece al menos a uno de los dos conjuntos.
En la figura 1.3 se muestran dos
conjuntos A y B, y el conjunto A ∪ B ´este
´ultimo comprende la zona rayada de la
figura.
Propiedades 3. Dados los
conjuntos A, B y C, subconjuntos de U, la unión de conjuntos verifica las
siguientes propiedades:
1. A ⊆ (A ∪
B), B ⊆
(A ∪
B).
2. A ⊆ B ⇔
A ∪
B = B.
3. A ⊆ C ∧
B ⊆
C ⇔
(A ∪
B) ⊆
C.
4. A ∪ A = A
(Propiedad Idempotente).
5. A ∪ B = B ∪
A (Propiedad Conmutativa).
6. A ∪ (B ∪
C)=(A ∪
B) ∪
C (Propiedad Asociativa).
7. A ∪ U = U (U es
el conjunto universal).
8. A ∪ ∅
= A.
2.2.3. Intersección
Definición 9: Dados dos conjuntos
A y B se llama intersección de A y B, y se representa A∩B, al conjunto formado
por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir:
A ∩ B = { x / x ∈
A ∧
x ∈
B }
De la definición se sigue que un
elemento pertenece a la intersección si pertenece a los dos conjuntos. En la
figura 1.4 se muestra un ejemplo de intersección entre los conjuntos A y B.
Nuevamente, la zona rayada de la figura indica el conjunto intersección A ∩ B.
Propiedades 4. Dados tres
conjuntos A B y C, subconjuntos de U, la intersección verifica las siguientes
propiedades:
1. (A ∩ B) ⊆
A, (A ∩ B) ⊆ B.
2. A ⊆ B ⇔
A ∩ B = A.
3. Si A ⊆ C ∧
B ⊆
C ⇒
(A ∩ B) ⊆ C.
4. A ∩ A = A (Propiedad
Idempotente).
5. A ∩ B = B ∩ A (Propiedad
Conmutativa).
6. A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C
(Propiedad Asociativa).
7. A ∩ U = A (U es el conjunto
universal).
8. A ∩ ∅ = ∅.
Propiedades 5. Además, la unión y
la intersección verifican las siguientes propiedades conjuntas:
1. A ∪
(B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A
∪
C) (Ver figura 1.5).
2. A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Ver
figura 1.6).
3. A ∪ A¯ = U. 4. A ∩ A¯ = ∅.
5. (A ∪ B) = A¯ ∩ B¯
(Primera Ley de De Morgan).
6. (A ∩ B) = A¯ ∪
B¯ (Segunda Ley de De Morgan).
Definición 10. Si dos conjuntos
no tienen ningún elemento en común, se dice que son disjuntos, es decir:
A y B son disjuntos ⇔
A ∩ B = ∅
1.2.4.
Diferencia
Definición 11. Dados dos
conjuntos A y B se llama diferencia entre A y B, y se
representa A - B, al conjunto formado por los
elementos de A que no pertenecen a B:
En la figura 1.7(a) se muestran dos
conjuntos A
y
B y, representado
por el área rayada, el conjunto A − B. Se aprecia con
facilidad que A − B y B
−A son, en general, distintos. Por otro lado, es claro
que A−B = A
∩ ¯B
Definición 12. Dados dos
conjuntos A y B se llama diferencia simétrica entre A y B, y se
representa 
, al conjunto unión de los
elementos de A que no pertenecen a B con los elementos
de B
que no pertenecen a A, es decir:
, al conjunto unión de los
elementos de A que no pertenecen a B con los elementos
de B
que no pertenecen a A, es decir:
En la figura 1.7(b) se muestran dos
conjuntos A
y
B, y en el área
rayada, el conjunto diferencia simétrica . Es fácil ver que = 
y, además:
. Es fácil ver que = y, además:
1.2.5.
Producto Cartesiano
Definición 13. Dados dos
conjuntos A y B, se llama producto
cartesiano de A por B, y se denota A×B, al conjunto constituido por pares ordenados de
elementos, el primero perteneciente al conjunto A y el
segundo al B. Esto es:
Ejemplo*. El producto
cartesiano A × B de los conjuntos A = {1,
2, 3} y B = {a, b} es el conjunto:
A × B = (1,
a)
, (1, b) , (2, a) , (2, b) , (3, a) , (3, b)
Cuando sea posible, es útil representar gráficamente el producto cartesiano por medio de diagramas de coordenadas cartesianas. Para ello se toman dos rectas OX y OY , perpendiculares u oblicuas, de forma que el punto O es la intersección de ambas. Este punto recibe el nombre de origen, la recta OX es el eje de abscisas y la OY es el eje de ordenadas. El conjunto A se representa linealmente en OX, y el B en OY . Los elementos (a, b) de A×B se representan por puntos resultantes de la intersección de la paralela a OY por a con la paralela a OX por b. En la figura 1.8 se muestra la representación en coordenadas cartesianas del ejemplo anterior.
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d), elementos del producto cartesiano A×B, son iguales si a = c y b = d. Es claro que, en general, A×B 
B×A.
B×A.
Propiedades 6. Dados los conjuntos A, B, C y D, el producto cartesiano verifica las siguientes propiedades:
Se puede extender la definición de producto cartesiano a n conjuntos.
Definición 14. Dados n conjuntos A1,A2, . . . , An se define su producto cartesiano como:
A1 × A2 ×· · ·×An = {(a1, a2, . . . , an) / ai ∈ Ai, ∀ i = 1, 2, .. . , n}
1.3. Relaciones entre conjuntos
Definición 15: Dados dos conjuntos A y B, una relación R es un subconjunto del producto cartesiano A×B. Al conjunto A se le denomina conjunto inicial de la relación, y al B conjunto final.
Si el par ordenado (a, b) pertenece a R, se dirá que a está relacionado con b, y se denotará aRb.
Ejemplo: Para los conjuntos A y B del ejemplo* anterior
se tiene que:
A×B ={(1, a) , (1, b) , (2, a) , (2, b) , (3, a) , (3, b)}
Una posible relación sería
R ={(1, a) , (2, b) , (3, a)}
En la figura 1.9 se muestran, mediante puntos, los elementos de A × B, y mediante círculos los de R.
Ejemplo. Para el producto cartesiano R × R, serán A=B=R.
Una posible relación podría ser
C = { (x, y) ∈ R × R /x2 + y2 = r2} , siendo r un número real positivo.
En la figura 1.10 se muestran los conjuntos A y B (los ejes cartesianos), y toda la superficie del papel, en la que se encuentran los ejes, que constituye el producto cartesiano A×B = R×R = R2. Los elementos de la relación C serán los puntos de ese plano que verifiquen la ecuación que la caracteriza.
En la figura, esos puntos se encuentran sobre la línea fina que, como se aprecia, forma una circunferencia de radio r.
Ejemplo. El estado de una partida de un juego de barcos se determina, habitualmente, en un tablero cuadrado de 100 casillas, ordenadas en 10 filas y 10 columnas numeradas respectivamente del 1 al 10 y de la A a la J, tal como se muestra en la figura 1.11. Si llamamos X al conjunto de las filas del tablero e Y al de las columnas, las casillas del tablero serán pares ordenados de la forma (x, y) ∈ X × Y . La situación de la flota de barcos en el tablero bien puede considerarse una relación F ⊆ X × Y .
En concreto, los barcos que se muestran en el tablero de la figura 1.12 constituyrn la relación:
F = {(B, 2) , (B, 3) , (B, 4) , (E, 8) , (F, 8) , (G, 8) , (H, 3) , (H, 4) , (H, 5)}
Por otra parte, los sucesivos intentos de hundir la flota, indicados en la figura 1.12 mediante torpedos, constituyen otra relación T de la forma:
T = {(D, 6) , (E, 2) , (F, 8) , (H, 5) , (I, 9)}
Los impactos que los torpedos han producido en los barcos, serán la relación intersección entre ambas:
I = F ∩T = {(F, 8), (H, 5)}.
La relación binaria es, por tanto, un caso particular de relación en el que coinciden el conjunto inicial y el final.